Lũy thừa của số e

Số e là hằng số toán học quan trọng, xấp xỉ 2.718 và là cơ số của logarit tự nhiên. Số e được định nghĩa qua giới hạn sau:

e = lim n → ∞ ( 1 + 1 n ) n . {\displaystyle e=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}.}

Hàm e mũ, được định nghĩa bởi

e x = lim n → ∞ ( 1 + x n ) n , {\displaystyle e^{x}=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n},}

ở đây x được viết như số mũ vì nó thỏa mãn đẳng thức cơ bản của lũy thừa

e x + y = e x ⋅ e y . {\displaystyle e^{x+y}=e^{x}\cdot e^{y}.}

Hàm e mũ xác định với tất cả các giá trị nguyên, hữu tỷ, thực và cả giá trị phức của x.

Có thể chứng minh ngắn gọn rằng hàm e mũ với x là số nguyên dương k chính là ek như sau:

( e ) k = ( lim n → ∞ ( 1 + 1 n ) n ) k = lim n → ∞ ( ( 1 + 1 n ) n ) k = lim n → ∞ ( 1 + k n ⋅ k ) n ⋅ k {\displaystyle (e)^{k}=\left(\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}\right)^{k}=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}\right)^{k}=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {k}{n\cdot k}}\right)^{n\cdot k}} = lim n ⋅ k → ∞ ( 1 + k n ⋅ k ) n ⋅ k = lim m → ∞ ( 1 + k m ) m = e k . {\displaystyle =\lim _{n\cdot k\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {k}{n\cdot k}}\right)^{n\cdot k}=\lim _{m\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {k}{m}}\right)^{m}=e^{k}.}

Chứng minh này cũng chứng tỏ rằng ex+y thỏa mãn đẳng thức lũy thừa khi x và y là các số nguyên dương. Kết quả này cũng có thể mở rộng cho tất cả các số không phải là số nguyên dương.

Lũy thừa với số mũ thực

Vì mỗi số thực có thể được tiệm cận bởi các số hữu tỷ nên lũy thừa của với số mũ thực x có thể định nghĩa nhờ giới hạn

b x = lim r → x b r , {\displaystyle b^{x}=\lim _{r\to x}b^{r},}

trong đó r tiến tới x chỉ trên các giá trị hữu tỷ của r.

Chẳng hạn, nếu

x ≈ 1.732 {\displaystyle x\approx 1.732}

thì

5 x ≈ 5 1.732 = 5 433 / 250 = 5 433 250 ≈ 16.241. {\displaystyle 5^{x}\approx 5^{1.732}=5^{433/250}={\sqrt[{250}]{5^{433}}}\approx 16.241.}

Lũy thừa với số mũ thực cũng thường được định nghĩa bằng cách sử dụng logarit thay cho sử dụng giới hạn của các số hữu tỷ.

Logarit tự nhiên ln ⁡ ( x ) {\displaystyle \ln {(x)}} là hàm ngược của hàm e-mũ ex. Theo đó ln ⁡ x {\displaystyle \ln x} là số b sao cho x = e b .

Nếu a là số thực dương, x là số thực bất kỳ ta có a = e ln a

nên nếu ax được định nghĩa nhờ hàm logarit tự nhiên thì ta cần phải có

a x = ( e ln ⁡ a ) x = e x ⋅ ln ⁡ a . {\displaystyle a^{x}=(e^{\ln a})^{x}=e^{x\cdot \ln a}.\,}

Điều này dẫn tới định nghĩa

a x = e x ⋅ ln ⁡ a {\displaystyle a^{x}=e^{x\cdot \ln a}\,}

với mọi số thực x và số thực dương a.

Định nghĩa này của lũy thừa số mũ thực phù hợp với định nghĩa lũy thừa thực nhờ giới hạn ở trên và với cả lũy thừa với số mũ phức dưới đây.